蘇婉/文 你在黃昏的小區(qū)散步，突然看到草叢中有一個(gè)毛茸茸的東西在動(dòng)。接近夜晚，光線不好，你憑借直覺判斷，這大概率是那只你經(jīng)常碰到的貍花貓。你繼續(xù)觀察，看到了它小而尖的耳朵，你加深了這就是那只花貍的信念。這時(shí)它條紋相間的尾巴露出并卷曲著晃動(dòng)，你幾乎可以肯定它就是那只貓了。最后這個(gè)毛茸茸的身影一閃而過，消失在灌木叢中。你回到家告訴家人：“我剛才很可能又碰到了前兩天的那只大花貍！”

一個(gè)典型的貝葉斯主義者可能會(huì)告訴你，這個(gè)平常到不能再平常的觀察和推測(cè)，反映了你了不起的大腦剛剛進(jìn)行過一次復(fù)雜的貝葉斯計(jì)算：你從自己的直覺出發(fā)，基于依次出現(xiàn)的視覺信息，做出了一次對(duì)特定現(xiàn)象出現(xiàn)的原因的判斷。

貝葉斯的博弈：數(shù)學(xué)、思維與人工智能
作者: 黃黎原
出版社: 圖靈｜人民郵電出版社
譯者: 方弦
出版時(shí)間: 2021-3

一

18世紀(jì)的英國(guó)哲學(xué)家休謨?cè)谧约旱膽岩烧撝兄赋觯?ldquo;我們無從得知因果之間的關(guān)系，只能得知某些事物總是會(huì)關(guān)聯(lián)在一起。”這種“相關(guān)非因果”的思想，體現(xiàn)在他在1748年寫的一篇《論神跡》的文章中，他關(guān)于目擊者的證詞永遠(yuǎn)無法證明神跡（即基督復(fù)活）的論斷，可能引起了當(dāng)時(shí)作為加爾文宗教會(huì)牧師的托馬斯?貝葉斯（ThomasBayes）的注意：我們真的無法通過觀察到的結(jié)果來推出引起它的真正原因嗎？如果我們預(yù)先形成了某種信念，需要觀察到多少證據(jù)才能確定這一信念的正確性？

貝葉斯在論文中想象自己背對(duì)著一張桌子，桌子上放有一個(gè)白球，隨后讓助手隨機(jī)在桌面上放黑球，每放一個(gè)就問白球相對(duì)于黑球的方位。白球的位置就是引起黑球處在某個(gè)相對(duì)方位的原因，這個(gè)在已知黑球相對(duì)白球位置的情況下確定白球可能位置的過程，就是一個(gè)能夠回應(yīng)休謨之問的典型的逆概率推算過程。對(duì)貝葉斯而言，只要放置黑球的數(shù)目足夠多，對(duì)于白球絕對(duì)位置的歸納性推測(cè)就能無限逼近準(zhǔn)確，因此，由果推因的歸納思維模式，不但有用，且并不如休謨所說，并非是非理性的。

主業(yè)是神學(xué)的貝葉斯不會(huì)想到，他自己都沒有信心高調(diào)發(fā)表的概率理論（雖然按理說，他的結(jié)論與他的信仰并不違背，即神跡可以通過足夠多的證據(jù)逆向證明），在他身后的數(shù)學(xué)界經(jīng)歷了爭(zhēng)論與沉寂，最終在兩個(gè)世紀(jì)之后，計(jì)算機(jī)甫一出現(xiàn)就獲得重生，在人類越來越依賴并擅長(zhǎng)處理大量數(shù)據(jù)的年代，由他命名的定理被廣泛地用于醫(yī)學(xué)診斷、機(jī)器學(xué)習(xí)、認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)等尖端領(lǐng)域當(dāng)中。這個(gè)原本粗略的理論雛形，經(jīng)過眾多天才的修正和推廣，如今被看做一種主義，一種知識(shí)哲學(xué)，乃至于能夠概括人類大腦認(rèn)知工作的抽象模型。

《貝葉斯的博弈：數(shù)學(xué)、思維與人工智能》就是一本詮釋貝葉斯定理“宇宙通用性”的著作。這本書的法語原版書名為《知識(shí)的公式：基于貝葉斯定理的統(tǒng)一性知識(shí)哲學(xué)》（LaFormuledusavoir:Unephilosophieunifiéedusavoirfondée surle théorème deBayes），作者是年輕的亞裔法國(guó)數(shù)學(xué)家黃黎原（LêNguyênHOANG），他畢業(yè)于巴黎綜合理工學(xué)院，現(xiàn)在是瑞士洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院的研究人員。

黃黎原長(zhǎng)期關(guān)注人工智能倫理問題，同時(shí)也是一個(gè)活躍且受歡迎的科普視頻博主，他開設(shè)的法語視頻頻道“Sci－ence4All”涉及數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和物理學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。他在書中充滿激情地盛贊了貝葉斯公式的實(shí)際有效性和哲學(xué)啟發(fā)性，將之稱之為“智慧方程”。這本書告訴我們，從貝葉斯公式引申出的貝葉斯方法和貝葉斯知識(shí)哲學(xué)，就像能夠游遍天下的思維通票，我們甚至可以說，萬物皆可“貝葉斯”。

貝葉斯公式用以描述在已知條件下某事件的發(fā)生概率，它的表達(dá)式是P（A|B）=P（A）P（B|A）/P（B）。我們可以把貝葉斯公式理解為這是一種基于現(xiàn)有的可靠證據(jù)（比如一些觀察、數(shù)據(jù)、信息），對(duì)所持信念（比如一些假設(shè)、主張或論點(diǎn)）的有效性進(jìn)行計(jì)算的方法，簡(jiǎn)單來講就是，原本的信念+新證據(jù)=改進(jìn)后的新信念。其中P代表概率，A表示原本的信念，B代表新證據(jù)或新條件。P（A）是A為真的概率，也被稱為先驗(yàn)概率，是貝葉斯主義者引以為優(yōu)勢(shì)的“主觀偏見”，但也是貝葉斯主義反對(duì)者用來攻擊貝葉斯統(tǒng)計(jì)科學(xué)性的“弱點(diǎn)”所在；P（B）則是B為真的概率，也稱為邊緣概率或配分函數(shù)，是公式中最難計(jì)算的一項(xiàng)，P（B|A）表示A為真時(shí)B的概率，也被稱作似然度或“需要一些想象力”的思想實(shí)驗(yàn)項(xiàng)。這個(gè)公式實(shí)際上是由法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace）重新發(fā)掘貝葉斯的概率思想得到的，他被認(rèn)為是貝葉斯主義之父。也許像微積分公式的全稱是“牛頓-萊布尼茨公式”一樣，貝葉斯公式至少應(yīng)被稱為“貝葉斯-拉普拉斯公式”。

二

貝葉斯公式如何應(yīng)用？以醫(yī)學(xué)領(lǐng)域?yàn)槔ａt(yī)學(xué)檢測(cè)通常以檢測(cè)結(jié)果是陽性或陰性來初步斷定受試者是否患病。在現(xiàn)實(shí)世界中，測(cè)試很少是完全可靠的，會(huì)出現(xiàn)假陽性和假陰性的問題。假設(shè)一個(gè)75歲的人對(duì)某項(xiàng)癌癥進(jìn)行檢測(cè)，而這種癌癥在75歲的發(fā)病率為1%，這時(shí)他的檢測(cè)結(jié)果呈陽性，那么這個(gè)人可能會(huì)非常絕望，覺得自己一定要寫遺囑了。但是測(cè)試往往并不完全可靠，假設(shè)準(zhǔn)確率有99%，也就是說100名患有癌癥的人中有99人的檢測(cè)結(jié)果呈陽性，而健康的100人中有99人的檢測(cè)結(jié)果呈陰性。如果測(cè)試呈陽性，癌癥的真正可能性有多大？貝葉斯定理告訴你，如果只檢測(cè)一次，得到的結(jié)果為陽性，那么他患癌的概率只有50%。

貝葉斯公式是如何計(jì)算出50%這個(gè)相對(duì)樂觀的概率的呢？先驗(yàn)概率P（A）即75歲癌癥的發(fā)病率1%；P（B|A）即患有癌癥的情況下檢測(cè)呈陽性的概率99%。所以 P（A）乘以 P（B|A）等于0.01乘以0.99，即0.0099。分母P（B）是無論是否患有癌癥，其檢測(cè)結(jié)果呈陽性的概率，包括真陽性和假陽性，運(yùn)算稍復(fù)雜，結(jié)果為0.0198。那么最終P（A|B）=P（A）P（B|A）/P（B）的結(jié)果，即檢測(cè)呈陽性的同時(shí)患癌的概率P（A|B）為0.5，也就是50%。但是如果二次接受檢測(cè)結(jié)果仍為陽性，再一次應(yīng)用貝葉斯公式進(jìn)行運(yùn)算，那么患癌癥的概率就會(huì)從50%提高到99%。我們看到，第一次的檢測(cè)結(jié)果會(huì)影響到第二次的檢測(cè)結(jié)果，這就說明迭代貝葉斯定理可以逐漸產(chǎn)生更為精確的信息，這同時(shí)也提示我們，任何醫(yī)學(xué)診斷的做出都需要經(jīng)過多次檢測(cè)，以防誤診。

然而，就是這樣一個(gè)擁有無限潛力的公式，也曾經(jīng)歷過被學(xué)術(shù)權(quán)威冷落排擠的跌宕歷史。在統(tǒng)計(jì)學(xué)界，頻率主義者曾把貝葉斯主義當(dāng)做勁敵。誕生于1920年代的頻率主義，其實(shí)就是我們?cè)跀?shù)學(xué)課本里學(xué)到的最經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)學(xué)框架。頻率主義假設(shè)概率就是對(duì)頻率的測(cè)量，強(qiáng)調(diào)當(dāng)樣本數(shù)量變得足夠大時(shí)，誤差就會(huì)逐漸消失。頻率主義的核心是用p值來對(duì)某個(gè)理論模型的可信度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，只有經(jīng)歷過足夠多的新數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，這個(gè)理論模型才科學(xué)。

頻率主義當(dāng)時(shí)在遺傳學(xué)研究方面表現(xiàn)出色，更加確信客觀性為唯一的金科玉律，對(duì)帶入先驗(yàn)概率的貝葉斯主義非常反感，因?yàn)檫@就相當(dāng)于在未經(jīng)檢測(cè)之前就將某個(gè)理論賦予了主觀的置信度。他們將這種主觀性（在書中被作者稱之為是“偏見”）視為洪水猛獸，認(rèn)為包含主觀性的統(tǒng)計(jì)方法根本就不算是科學(xué)。

在埃貢·皮爾遜、羅納德·費(fèi)希爾等頻率主義統(tǒng)計(jì)學(xué)家主導(dǎo)的整個(gè)20世紀(jì)中期，“主觀”、“先驗(yàn)”和“貝葉斯”等術(shù)語都被逐出了統(tǒng)計(jì)學(xué)系。曾有醫(yī)學(xué)科學(xué)家用貝葉斯定理證明了煙草在導(dǎo)致肺癌方面的危害，但是接受了煙草行業(yè)資助的頻率主義大佬費(fèi)希爾，則指責(zé)這位科學(xué)家在研究中缺少頻率主義方法要求的對(duì)照組和重復(fù)實(shí)驗(yàn)，繼而顛倒因與果的順序，提出潛在的肺癌會(huì)導(dǎo)致人傾向于吸煙。

然而頻率主義也有無法回避的弱點(diǎn)。首先p值是可以通過大量實(shí)驗(yàn)來操控的，同時(shí)，對(duì)于很多小概率事件的預(yù)測(cè)，比如地震，我們能夠獲得的測(cè)量數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)機(jī)會(huì)是很少的。而貝葉斯統(tǒng)計(jì)的神奇之處，正是在于可以在數(shù)據(jù)稀少的情況下去靠近準(zhǔn)確值。因此，在信息更難收集和處理的前計(jì)算機(jī)時(shí)代，貝葉斯仍然是人們?cè)噲D把握稀有事件的不確定性時(shí)所能依賴的工具。除了通過對(duì)單詞的使用偏好確定《聯(lián)邦黨人文集》匿名作者身份，以及在茫茫大西洋中尋找天蝎號(hào)核潛艇的位置這兩個(gè)廣為人知的事例之外，貝葉斯計(jì)算還用來估計(jì)過核電站發(fā)生重大事故的概率，預(yù)測(cè)火箭發(fā)射出現(xiàn)重大事故的概率等等。

貝葉斯主義是關(guān)于概率的哲學(xué)，它重新發(fā)問，概率是什么？頻率主義認(rèn)為的概率需要依靠事件重復(fù)發(fā)生的頻率來計(jì)算。但是當(dāng)重復(fù)量，也就是數(shù)據(jù)不足時(shí)，我們很難根據(jù)之前的規(guī)律準(zhǔn)確預(yù)測(cè)未來。比如把之前事件的發(fā)生看做一組數(shù)列“1，2，4，8，16”，那么在簡(jiǎn)單的推理下，下一個(gè)出現(xiàn)的事件應(yīng)該是32。但是當(dāng)數(shù)字代表圓被圓周上2、3、4、5個(gè)點(diǎn)所連成的若干直線分成的份數(shù)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)數(shù)為6時(shí)，下一個(gè)出現(xiàn)的份數(shù)，也就是事件，應(yīng)該是31，而不是32。

貝葉斯公式

三

我們確信自己通曉的規(guī)律將在哪一點(diǎn)上的預(yù)測(cè)突然告敗？大多數(shù)情況下人們不愿意面對(duì)這個(gè)問題。人類對(duì)確定性和可控性的渴望寫在基因里。前科學(xué)時(shí)代的巫術(shù)就是對(duì)確定性追求的極致。比如按照阿贊德人前現(xiàn)代時(shí)期的生活邏輯，是把小概率發(fā)生的厄運(yùn)歸因于仇人故意施加的巫術(shù)，也就是一個(gè)可以追溯的確定性外因。而科學(xué)，尤其是概率認(rèn)知，相對(duì)于巫術(shù)最大的不同，就是在接受不確定性存在的前提下，逐漸掌握一套與不確定性相處的動(dòng)態(tài)方法。一個(gè)良好的預(yù)測(cè)，應(yīng)能計(jì)算上述數(shù)列中下一項(xiàng)的所有候選數(shù)值的出現(xiàn)概率，而這里的概率應(yīng)該是對(duì)這些可能性所賦予的置信度。這就是貝葉斯公式試圖達(dá)成的效果。

書中強(qiáng)調(diào)，我們探索世界、積累知識(shí)的思維模式，很大程度上是可以被貝葉斯定理所概括的。比如看到的烏鴉都是黑的，便推論世界上所有烏鴉都是黑的，提出假設(shè)并根據(jù)觀察結(jié)果修正這些假設(shè)，這種修正或者是提高這個(gè)推論正確的概率，或者是削減它。貝葉斯之父拉普拉斯曾說，概率論本質(zhì)上不過是化為計(jì)算的常識(shí)。它以準(zhǔn)確的方式評(píng)價(jià)那些正常的頭腦通過某種直覺領(lǐng)會(huì)到東西，而這種直覺領(lǐng)會(huì)經(jīng)常不被察覺。

說到底，貝葉斯公式指向了一種知識(shí)哲學(xué)，作者甚至認(rèn)為：“理性”本質(zhì)上可以歸結(jié)于貝葉斯公式的應(yīng)用，以至于可以將信奉這種哲學(xué)稱為貝葉斯主義。貝葉斯主義就是假設(shè)“現(xiàn)實(shí)”的所有模型、理論或概念都只不過是某種信念、虛構(gòu)或詩歌，尤其要指出的是，“所有模型都是錯(cuò)的”；然后，實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)該迫使我們調(diào)整賦予不同模型的重要性，即置信度；關(guān)鍵在于，調(diào)整這些置信度的方式應(yīng)該盡可能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈裱惾~斯公式。貝葉斯比波普爾的可證偽理論，更能準(zhǔn)確地定義科學(xué)。

貝葉斯在今天顯得尤其重要，由于計(jì)算機(jī)性能的提高，數(shù)據(jù)收集及處理技術(shù)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過人腦，商業(yè)、政策等領(lǐng)域無不更加依賴大數(shù)據(jù)分析的結(jié)果，“技術(shù)的演變讓我們重新審視貝葉斯公式以及它在知識(shí)大廈中的位置”。

貝葉斯計(jì)算特別有益于在對(duì)海量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析中的刪繁就簡(jiǎn)，抓大放小。從天體物理學(xué)、航空航天，到基因組測(cè)序和蛋白質(zhì)研究；從醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中的癌癥溯因、病毒檢測(cè)，到計(jì)算機(jī)科學(xué)中的圖像識(shí)別、信息加密；從商業(yè)領(lǐng)域的保險(xiǎn)、廣告、物流，到社會(huì)政治領(lǐng)域的選舉和資源分配等等。貝葉斯的應(yīng)用無所不在。

在純粹的數(shù)學(xué)框架和尖端科技的應(yīng)用領(lǐng)域之外，貝葉斯哲學(xué)非常適合作為個(gè)人生活在當(dāng)下這個(gè)快速更迭時(shí)代的思維指南。貝葉斯哲學(xué)反映了人類對(duì)不確定性的焦慮，也為應(yīng)對(duì)不確性提供了一種方法，即接納不確定性，在防止過度自信的前提下大膽進(jìn)行直覺性假設(shè)，同時(shí)也不忘用新證據(jù)來對(duì)自己的假設(shè)進(jìn)行不斷更新，讓自己處在追尋答案的過程中。正如諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者費(fèi)曼曾說：“我能帶著疑問、不確定和無知活著……我有些近似的答案，對(duì)于各種問題也有些確定程度或高或低的合理信念，但我不會(huì)絕對(duì)確信任何事情。”

貝葉斯也并非絕無缺陷。它雖然給主觀性一席之地，但如果主觀的出發(fā)點(diǎn)是偽科學(xué)或謠言，那么后續(xù)則有可能引用可疑的證據(jù)來支持乃至強(qiáng)化這個(gè)可疑的信念。但是貝葉斯主義最強(qiáng)大的地方是在于它在哲學(xué)層面上的包容性，強(qiáng)調(diào)“互不相容的模型組成的森林比其中每一棵樹都要睿智。”

書中提到，“根據(jù)貝葉斯定理，任何理論都不完美。取而代之的是一項(xiàng)未盡的工作，它永遠(yuǎn)處于推敲與測(cè)試之中。”貝葉斯?fàn)顟B(tài)就是一種平衡于確信與懷疑之間的狀態(tài)，在這種狀態(tài)下，人們不會(huì)輕易確信謠言，可以對(duì)壞運(yùn)氣感到釋懷，也可以勇敢向不公正對(duì)待提出抗辯。貝葉斯公式也許并不完美，但貝葉斯主義，也許正是最適宜這個(gè)不確定性時(shí)代的知識(shí)哲學(xué)。